1992 年考研数学（一） 第 2 题

求梯度套路固定——分别对 $x,y,z$ 求偏导再组装成向量。本题 $u$ 是「对数套二次型」，链式法则 $(\ln w{)}^{\prime }=w^{\prime }/w$ 最省事；三个偏导共用同一分母 $x^2+y^2+z^2$，在点 $M$ 处算一次即可。

分析：梯度是各偏导数组成的向量 $\mathrm{grad}u=\{u_x,u_y,u_z\}$，先求偏导再代入点 $M$。

$$u_x=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2},u_y=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2},u_z=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.$$
在点 $M(1,2,-2)$ 处 $x^2+y^2+z^2=1+4+4=9$。

故 $u_x{|}_M=\frac{2}{9}$，$u_y{|}_M=\frac{4}{9}$，$u_z{|}_M=-\frac{4}{9}$，即 $\mathrm{grad}u{|}_M=\left\{\frac{2}{9},\frac{4}{9},-\frac{4}{9}\right\}$。