1992 年考研数学（一） 第 1 题

方程里 $y$ 解不出来，遇到这种由 $F(x,y)=0$ 隐含 $y=y(x)$ 的情形，就两边对 $x$ 求导、把 $\frac{dy}{dx}$ 当未知量解出。核心提醒：凡含 $y$ 处都视为 $x$ 的复合函数，别漏掉 $\frac{dy}{dx}$ 因子。

分析：方程两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，用隐函数求导法。

对 $e^{x+y}+\cos (xy)=0$ 两边关于 $x$ 求导：
$$e^{x+y}\left(1+\frac{dy}{dx}\right)-\sin (xy)\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)=0.$$

整理并解出 $\frac{dy}{dx}$：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}-y\sin (xy)}{x\sin (xy)-e^{x+y}}.$$