1990 年考研数学（一） 第 9 题

题目给出一个『带正负号信息』的极限（此处 $=2>0$），这是提示用极限保号性。由保号性知去心邻域内 $\frac{f(x)}{1-\cos x}>0$，又 $1-\cos x>0$，故 $f(x)>0=f(0)$，正合极小值定义。至于可导性，分母是二阶无穷小无法判定，应抓极值这条线走。

分析：由极限值为正，用极限保号性判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近的符号，从而判断极值。

因 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1-\cos x}=2>0$，由保号性，存在 $\delta >0$，使当 $0<|x|<\delta$ 时 $\frac{f(x)}{1-\cos x}>0$。而该邻域内 $1-\cos x>0$，故 $f(x)>0=f(0)$。

即在 $x=0$ 的去心邻域内 $f(x)>f(0)$，故 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点。应选 D。