1990 年考研数学（一） 第 10 题

这类『选通解』题不必解方程，只需按通解结构逐个验证选项两件事：常向量是不是 $AX=b$ 的特解、系数向量组是不是齐次基础解系。关键恒等式是 $A\frac{{\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2}{2}=b$（特解）而 $A\frac{{\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2}{2}=0$（只是齐次解）；再核对无关性即可排除干扰项。

分析：非齐次通解 $=$ 齐次基础解系的线性组合 $+$ 一个特解。需检验每个选项：① 前两个向量是否为 $AX=0$ 的基础解系（两个线性无关的齐次解）；② 常数向量是否为 $AX=b$ 的特解。

看 B：${\mathbf{\alpha }}_1$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2$ 均为 $AX=0$ 的解。由 $k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2({\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2)=0$ 得 $(k_1+k_2){\mathbf{\alpha }}_1-k_2{\mathbf{\alpha }}_2=0$，因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 无关知 $k_1=k_2=0$，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，构成基础解系。

又 $A\cdot \frac{{\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2}{2}=\frac{1}{2}(b+b)=b$，故 $\frac{{\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2}{2}$ 是特解。二者结合即得通解。

其余选项被排除：$\frac{{\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2}{2}$ 满足 $A\cdot \frac{{\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2}{2}=0$，是齐次解而非特解（排除 A、C）；D 中 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2$ 未必线性无关，不一定构成基础解系。应选 B。