1990 年考研数学（一） 第 11 题

被积函数是『对数 $\times$ 有理式』，是典型的分部积分；选谁作 $dv$ 的关键在于 $\frac{1}{(2-x{)}^2}$ 恰是 $\frac{1}{2-x}$ 的导数，凑微分后 $\ln (1+x)$ 被求导为 $\frac{1}{1+x}$，积分立即有理化。最后对 $\frac{1}{(2-x)(1+x)}$ 作部分分式分解即可收尾。

分析：注意 $\frac{1}{(2-x{)}^2}={\left(\frac{1}{2-x}\right)}^{\prime }$，用分部积分。

$${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{(2-x{)}^2}dx={\int }_0^1\ln (1+x)d\left(\frac{1}{2-x}\right)=\frac{\ln (1+x)}{2-x}{|}_0^1-{\int }_0^1\frac{1}{2-x}\cdot \frac{1}{1+x}dx.$$
第一项 $=\frac{\ln 2}{1}-0=\ln 2$。

对余项作部分分式：$\frac{1}{(2-x)(1+x)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2-x}+\frac{1}{1+x}\right)$，于是
$${\int }_0^1\frac{dx}{(2-x)(1+x)}=\frac{1}{3}\ln \frac{1+x}{2-x}{|}_0^1=\frac{1}{3}(\ln 2-\ln \frac{1}{2})=\frac{2}{3}\ln 2.$$

故原积分 $=\ln 2-\frac{2}{3}\ln 2=\frac{1}{3}\ln 2$。