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1990 年考研数学（一）第 12 题

解答题 · 5 分

设

z = f (2 x - y, y sin x)

，其中

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

.

提示 1

先设中间变量

u = 2 x - y, v = y sin x

，记清

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

各自的含义。

提示 2

先对

x

求一阶偏导，写成

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

的组合。

提示 3

再对

y

求导时切记

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是

u, v

的函数，要继续用链式法则，并用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并。

答案与详解

思路（为什么这么做）

抽象复合函数求高阶偏导，核心是把

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

当作与原函数同结构的新复合函数。第一步对

x

求导得

2 f_{1}^{'} + y cos x f_{2}^{'}

；第二步对

y

求导时，

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

都要再乘各自对

y

的内导数，且

y cos x f_{2}^{'}

一项还需用乘积法则先出

cos x f_{2}^{'}

。最后靠混合偏导相等合并同类项，这是防止漏项、算乱的关键。

解答

分析：记

u = 2 x - y, v = y sin x

，

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

表示对

u, v

的偏导。先对

x

求导，再对

y

求导，注意

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是

u, v

的复合函数。

对

x

求偏导（

u_{x} = 2, v_{x} = y cos x

）：

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 f_{1}^{'} + y cos x f_{2}^{'} .

再对

y

求偏导（

u_{y} = - 1, v_{y} = sin x

）：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = 2 (- f_{11}^{''} + sin x f_{12}^{''}) + cos x f_{2}^{'} + y cos x (- f_{21}^{''} + sin x f_{22}^{''}) .

由

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

合并同类项，得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 2 f_{11}^{''} + (2 sin x - y cos x) f_{12}^{''} + y sin x cos x f_{22}^{''} + cos x f_{2}^{'} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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