1990 年考研数学（一） 第 13 题

二阶常系数非齐次方程，通解 $=$ 齐次通解 $+$ 特解。设特解时最易错的是『共振』：右端指数 $-2$ 恰为特征方程的二重根，按待定系数法必须把常规的 $a{e}^{-2x}$ 乘上 $x^2$，才能避免与齐次解重叠。识别特征根的重数是本题定成败的一步。

分析：二阶常系数非齐次线性方程，通解 $=$ 齐次通解 $+$ 一个特解。

特征方程 ${\lambda }^2+4\lambda +4=0$，即 $(\lambda +2{)}^2=0$，得二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-2$，故齐次方程 $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$ 的通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$。

因 $-2$ 是二重特征根，右端 $e^{-2x}$ 对应设特解 $y_0=a{x}^2{e}^{-2x}$。代入原方程比较系数得 $2a=1$，即 $a=\frac{1}{2}$。

故通解为
$$y=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-2x}(C_1,C_2\text{为任意常数}).$$