1990 年考研数学（一） 第 14 题

幂级数求和的通法是『向已知的几何级数 $\frac{1}{1-x}$ 靠』，手段是逐项求导或积分。系数 $2n+1$ 含一次因子，提示拆成 $2n$ 与 $1$：$\sum x^n$ 直接是 $\frac{1}{1-x}$，$\sum n{x}^n$ 则对它求导再乘 $x$。端点处因通项不趋于 $0$ 而发散，这一步不能省。

分析：先由比值法求收敛半径并讨论端点，再借助 $\sum x^n=\frac{1}{1-x}$ 逐项微分求和函数。

收敛域：$a_n=2n+1$，$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+3}{2n+1}=1$，故收敛半径 $R=1$。当 $x=\pm 1$ 时，通项 $(2n+1)(\pm 1{)}^n$ 不趋于 $0$，级数发散。故收敛域为 $(-1,1)$。

和函数：设 $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^n=2\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n+\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$。其中 $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$，而
$$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=x\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=x{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n\right)}^{\prime }=x{\left(\frac{x}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{x}{(1-x{)}^2}.$$

故
$$S(x)=\frac{2x}{(1-x{)}^2}+\frac{1}{1-x}=\frac{2x+(1-x)}{(1-x{)}^2}=\frac{1+x}{(1-x{)}^2},x\in (-1,1).$$