1990 年考研数学（一） 第 15 题

第二类曲面积分遇到『不封闭曲面 + 可用散度』，标准套路是补面凑封闭再用高斯公式。这里补底面圆盘后，散度 $\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z$ 很简单，三重积分用球坐标即得；再把人为补上的底面积分单独算出并扣除。关键是记牢 $I=\iint -{\iint }_{\text{补面}}$，符号与侧向别弄反。

分析：$\Sigma$ 是上半球面，不封闭。补一块底面 ${\Sigma }_0$ 使之封闭，用高斯公式化为三重积分。

补 ${\Sigma }_0:z=0(x^2+y^2⩽4)$，取下侧，则 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 是取外侧的封闭曲面，围成上半球体 $\Omega$。对应向量场 $\{0,yz,2\}$ 的散度为 $\frac{\partial (yz)}{\partial y}=z$，由高斯公式
$$\iint yzdzdx+2dxdy={\iiint }_{\Omega }zdv.$$

用球坐标（$z=r\cos \phi$，$dv=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$）：
$${\iiint }_{\Omega }zdv={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /2}d\phi {\int }_0^2{r}^3\sin \phi \cos \phi dr=2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot 4=4\pi .$$

在 ${\Sigma }_0$ 上 $z=0$，故 ${\iint }_{{\Sigma }_0}yzdzdx=0$；又 ${\Sigma }_0$ 取下侧，
$${\iint }_{{\Sigma }_0}2dxdy=-2{\iint }_{x^2+y^2⩽4}dxdy=-2\cdot 4\pi =-8\pi .$$

所以
$$I=\iint -{\iint }_{{\Sigma }_0}=4\pi -(-8\pi )=12\pi .$$