1990 年考研数学（一） 第 16 题

要证『存在一点使 $f^{\prime }>0$』，思路是把导数的正负转化为函数值之差——这正是拉格朗日中值定理的用武之地。突破口是条件『不恒为常数且 $f(a)=f(b)$』，它保证有内点 $c$ 使 $f(c)\ne f(a)$；据 $f(c)$ 比端点大还是小，在 $[a,c]$ 或 $[c,b]$ 上用中值定理即得正的导数值。

分析：$f$ 不恒为常数，故存在内点的函数值与端点值不等；在适当子区间上用拉格朗日中值定理即可得到正的导数值。

证明：因 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上不恒为常数，且 $f(a)=f(b)$，故存在 $c\in (a,b)$，使 $f(c)\ne f(a)$。

不妨设 $f(c)>f(a)$。在 $[a,c]$ 上对 $f$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,c)\subset (a,b)$，使得
$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0.$$

若 $f(c)<f(a)$，则由 $f(b)=f(a)>f(c)$，在 $[c,b]$ 上对 $f$ 用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (c,b)\subset (a,b)$，使 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}>0$。两种情形均得证。