1990 年考研数学（一） 第 17 题

含 ${\mathbf{C}}^{-1}$、转置的矩阵方程，先『符号化简』再代数值，可避免直接求 ${\mathbf{C}}^{-1}$ 的大量计算。核心一步是逆用转置律 ${\mathbf{M}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}=(\mathbf{C}\mathbf{M}{)}^{\mathrm{T}}$，把 $\mathbf{C}$ 乘进括号消掉 ${\mathbf{C}}^{-1}$，得到干净的 $(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}$。于是 $\mathbf{A}=[(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}{]}^{-1}$，而 $\mathbf{C}-\mathbf{B}$ 是简单三角矩阵，求逆轻松。

分析：先用转置与逆的运算律化简关系式，把 $\mathbf{A}$ 单独解出，再求逆。

由 $(\mathbf{E}-{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}=[\mathbf{C}(\mathbf{E}-{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{B}){]}^{\mathrm{T}}=(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}$，原式化为 $\mathbf{A}(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E}$，故 $\mathbf{A}=[(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}{]}^{-1}$。

而 $\mathbf{C}-\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 3& 2& 1& 0\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right)$。

对 $(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}$ 用初等行变换求逆，$[(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}\mid \mathbf{E}]\to [\mathbf{E}\mid \mathbf{A}]$，得
$$\mathbf{A}=[(\mathbf{C}-\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}{]}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 1& -2& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right).$$