1990 年考研数学（一） 第 8 题

遇到通项能拆成两项之差的级数，先分别定性再合起来。这里 $\frac{\sin n\alpha }{n^2}$ 被 $\frac{1}{n^2}$ 控制而绝对收敛，$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 是 $p=\frac{1}{2}$ 的发散 $p$-级数；由『收敛级数与发散级数之和必发散』直接得发散，且与收敛项里的 $\alpha$ 无关。『收敛+发散=发散』是本题命门。

分析：把通项拆成两个级数，利用「收敛级数 $+$ 发散级数 $=$ 发散级数」判断。

一方面 $\left|\frac{\sin n\alpha }{n^2}\right|⩽\frac{1}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，由比较判别法知 $\sum \frac{\sin n\alpha }{n^2}$ 绝对收敛；另一方面 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是 $p=\frac{1}{2}⩽1$ 的 $p$-级数，发散。

收敛级数与发散级数逐项相减仍发散，故原级数 $\sum \left(\frac{\sin n\alpha }{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 发散，且与 $\alpha$ 的取值无关。应选 C。