1990 年考研数学（一） 第 5 题

求向量组的秩，通法是排成矩阵作初等行变换、数阶梯形的非零行。本题还有一个信号：${\mathbf{\alpha }}_2-{\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\alpha }}_3-{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_4-{\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,1,1)$，说明各向量成等差，独立方向至多两个，故秩为 $2$。识别到『等差/成比例』结构能预判秩很低。

分析：把各向量作为矩阵的列（或行），用初等行变换化为阶梯形，非零行数即为秩。

以 ${\mathbf{\alpha }}_i^{\mathrm{T}}$ 为列构成矩阵并作行变换：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -1& -2& -3\\ 0& -2& -4& -6\\ 0& -3& -6& -9\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
阶梯形有 $2$ 个非零行，故 $r=2$，即该向量组的秩为 $2$。