1990 年考研数学（一） 第 4 题

二次积分中只要出现 $e^{-y^2}$、$\frac{\sin y}{y}$ 这类无初等原函数的被积函数，几乎就是在暗示交换积分次序。把积分区域画成三角形后交换 $x,y$ 顺序，内层对 $x$ 积分只贡献一个因子 $y$，恰好凑出可积的 $y{e}^{-y^2}$，问题随之化解。

分析：$e^{-y^2}$ 无初等原函数，需交换积分次序。

积分区域为 $0⩽x⩽2,x⩽y⩽2$，即三角形 $\{0⩽y⩽2,0⩽x⩽y\}$。交换次序后先对 $x$ 积分：
$${\int }_0^{2}dx{\int }_x^2{e}^{-y^2}dy={\int }_0^2{e}^{-y^2}dy{\int }_0^{y}dx={\int }_0^{2}y{e}^{-y^2}dy=-\frac{1}{2}{e}^{-y^2}{|}_0^2=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e^4}\right).$$