1990 年考研数学（一） 第 3 题

处理分段函数的复合 $f[f(x)]$，要害是抓住『内层函数的值域』。这里 $f(x)$ 无论如何只能取 $0$ 或 $1$，而这两个数的绝对值都 $⩽1$，故外层永远落在 $|u|⩽1$ 那一段，输出恒为常数。识别到『值域只有有限几个值』就能把复合彻底简化。

分析：把 $f(x)$ 的值作为内层变量，再代入 $f$。

由定义，$f(x)$ 的取值只能是 $0$ 或 $1$，无论哪种情形都有 $|f(x)|⩽1$。于是
$$f[f(x)]=\{\begin{array}{ll}1,& |f(x)|⩽1,\\ 0,& |f(x)|>1,\end{array}=1.$$
即 $f[f(x)]\equiv 1$。