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1990 年考研数学（一）第 2 题

填空题 · 3 分

设

a

为非零常数，则

x \to \infty lim (\frac{x + a}{x - a})^{x} =

___.

提示 1

先判断这是什么未定型：底数趋于

1

，指数趋于无穷。

提示 2

1^{\infty}

型的标准手法是把底数写成

1 +

（小量），再向重要极限

lim (1 + u)^{1/ u} = e

靠。

提示 3

把

\frac{x + a}{x - a}

拆成

1 + \frac{2 a}{x - a}

，凑出指数

\frac{x - a}{2 a}

后，看剩下那部分指数的极限。

答案与详解

答案 $e^{2 a}$

思路（为什么这么做）

看到『底数→1、指数→∞』的幂指结构，应立刻识别为

1^{\infty}

型，这类极限几乎都靠重要极限

e

求。关键动作是把底数改写成

1 + u

（这里

u = \frac{2 a}{x - a}

），配出

(1 + u)^{1/ u}

，最后只需算『

\frac{1}{u} \cdot

原指数』的极限作为

e

的指数。

解答

分析：这是

1^{\infty}

型极限，凑重要极限

lim (1 + u)^{1/ u} = e

。

x \to \infty lim (\frac{x + a}{x - a})^{x} = x \to \infty lim (1 + \frac{2 a}{x - a})^{x} = x \to \infty lim [(1 + \frac{2 a}{x - a})^{\frac{x - a}{2 a}}]^{\frac{2 a}{x - a} \cdot x} .

因为指数

\frac{2 a}{x - a} \cdot x \to 2 a (x \to \infty)

，故原极限

= e^{2 a}

。

考点：两个重要极限、极限的计算方法综合

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