1990 年考研数学（一） 第 6 题

变限积分求导本质是复合的牛顿-莱布尼茨公式，看到『积分限是 $x$ 的函数』就该用 $f(v)v^{\prime }-f(u)u^{\prime }$。本题两个限都是函数，最易错的是符号：下限项本身带负号，而 $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ 又贡献一个负号，逐项代入并核对符号即可锁定选项。

分析：变限积分求导，上、下限都是 $x$ 的函数，用公式 $\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v)v^{\prime }-f(u)u^{\prime }$。

$$F^{\prime }(x)=f(e^{-x})\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }-f(x)\cdot (x{)}^{\prime }=f(e^{-x})\cdot (-e^{-x})-f(x)=-e^{-x}f(e^{-x})-f(x).$$
应选 A。