1990 年考研数学（一） 第 20 题

由密度求分布函数就是做『变上限积分』，含绝对值 $e^{-|t|}$ 时必须以 $t=0$ 为界分段。$x<0$ 时积分区间尽在负半轴，$|t|=-t$，直接积得 $\frac{1}{2}{e}^x$；$x⩾0$ 时把 $(-\infty ,0]$ 的半个面积（$\frac{1}{2}$）加上 $[0,x]$ 段，得 $1-\frac{1}{2}{e}^{-x}$。分段点选在绝对值的拐点是关键。

分析：$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$，按 $x$ 的正负分段积分。

当 $x<0$ 时（此时 $t⩽x<0$，$|t|=-t$）：
$$F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{2}{e}^{t}dt=\frac{1}{2}{e}^x.$$

当 $x⩾0$ 时：
$$F(x)={\int }_{-\infty }^0\frac{1}{2}{e}^{t}dt+{\int }_0^x\frac{1}{2}{e}^{-t}dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-e^{-x})=1-\frac{1}{2}{e}^{-x}.$$

故
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^x,& x<0,\\ 1-\frac{1}{2}{e}^{-x},& x⩾0.\end{array}$$