1990 年考研数学（一） 第 19 题

变力做功先落实为第二类曲线积分 $W={\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$，难点在写出 $\mathbf{F}$：垂直于 $OP$ 的单位向量是 $\pm \frac{\{-y,x\}}{|OP|}$，再由『与 $y$ 轴正向成锐角』定号得 $\mathbf{F}=\{-y,x\}$。曲线是半圆不便直接积，故补上直径弦凑成闭曲线用格林公式（此时 $\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}=2$），面积项好算，最后扣掉弦上的积分。

分析：先写出力 $\mathbf{F}$ 的坐标表达式，功即为第二类曲线积分 $W={\int }_L\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$；再补直线段 $\overline{BA}$ 用格林公式计算。

设 $P=(x,y)$，$\overrightarrow{OP}=\{x,y\}$，$|\mathbf{F}|=\sqrt{x^2+y^2}$。与 $\overrightarrow{OP}$ 垂直的单位向量为 $\pm \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\{-y,x\}$。因所求方向与 $y$ 轴正向成锐角（本题区域内 $x>0$，$\{-y,x\}$ 与 $\{0,1\}$ 的数量积 $=x>0$），故取
$$\mathbf{F}=|\mathbf{F}|\cdot \frac{\{-y,x\}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\{-y,x\}.$$

所求功 $W={\int }_L(-y)dx+xdy$。补有向线段 $\overline{BA}$（从 $B$ 到 $A$），使 $L+\overline{BA}$ 成为正向闭曲线，围成以 $AB$ 为直径的半圆盘 $D$（半径 $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{2}$）。由格林公式
$${\oint }_{L+\overline{BA}}(-y)dx+xdy={\iint }_D(\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y})dxdy=2{\iint }_{D}dxdy=2\cdot \frac{1}{2}\pi (\sqrt{2}{)}^2=2\pi .$$

在直线段 $\overline{AB}:y=x+1$（$x$ 从 $1$ 到 $3$，$dy=dx$）上
$${\int }_{\overline{AB}}(-y)dx+xdy={\int }_1^3[-(x+1)+x]dx={\int }_1^3(-1)dx=-2.$$

故
$$W={\int }_L={\oint }_{L+\overline{BA}}+{\int }_{\overline{AB}}=2\pi +(-2)=2(\pi -1).$$