1989 年考研数学（一） 第 19 题

这是「曲面积分算面积 + 一元求最值」的组合题。先靠对称性把球心摆正、定出内部那块的投影圆，用面积公式把 $S$ 化成只含 $R$ 的显式函数；余下是单变量最优化，令导数为零并验证是极大即可。关键在正确写出投影半径与被积函数 $\frac{R}{\sqrt{R^2-r^2}}$。

本题考查曲面面积的计算与一元函数求最值。 不妨设 $\Sigma$ 的球心为 $(0,0,a)$。

设 $\Sigma :x^2+y^2+(z-a{)}^2=R^2(0<R<2a)$。与定球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 联立相减，得两球面交线在 $xOy$ 面的投影为 $x^2+y^2=R^2-\frac{R^4}{4a^2}$。位于定球面内部的是 $\Sigma$ 的下半部分
$$z=a-\sqrt{R^2-x^2-y^2},(x,y)\in D:x^2+y^2\le R^2-\frac{R^4}{4a^2}.$$

该部分面积
$$S={\iint }_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy={\iint }_D\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dxdy=R{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{R^2-R^4/4a^2}}\frac{rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}.$$
注意上限处 $\sqrt{R^2-r^2}=\frac{R^2}{2a}$，得
$$S=2\pi R(R-\frac{R^2}{2a})=2\pi (R^2-\frac{R^3}{2a}).$$

求最值：$\frac{dS}{dR}=2\pi (2R-\frac{3R^2}{2a})=0\Rightarrow R=\frac{4}{3}a$。当 $0<R<\frac{4}{3}a$ 时 $\frac{dS}{dR}>0$，当 $R>\frac{4}{3}a$ 时 $\frac{dS}{dR}<0$，故 $R=\frac{4}{3}a$ 时 $\Sigma$ 位于定球面内部的部分面积最大。