1989 年考研数学（一） 第 18 题

特征值证明题都从定义 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$ 起手，并构造性地说明「同一个特征向量 $\mathbf{\alpha }$」仍然管用。(1) 左乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 即得特征值 $\frac{1}{\lambda }$；(2) 的桥梁是公式 ${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}$，把 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 作用在 $\mathbf{\alpha }$ 上顺势代入 (1)。

本题考查特征值的性质及伴随矩阵公式 ${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}$。

(1) 因 $\mathbf{A}$ 可逆，$|\mathbf{A}|\ne 0$，故 $\lambda \ne 0$。设 $\mathbf{\alpha }$ 是 $\mathbf{A}$ 属于 $\lambda$ 的特征向量（$\mathbf{\alpha }\ne 0$），即 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$。两边左乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 得 $\mathbf{\alpha }=\lambda {\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\alpha }$，即
$${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\alpha }=\frac{1}{\lambda }\mathbf{\alpha },$$
故 $\frac{1}{\lambda }$ 是 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的特征值（$\mathbf{\alpha }$ 为对应特征向量）。

(2) 由 ${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}$，用 (1) 的结果得
$${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{\alpha }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{\alpha }=|\mathbf{A}|\cdot \frac{1}{\lambda }\mathbf{\alpha }=\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }\mathbf{\alpha },$$
故 $\frac{|\mathbf{A}|}{\lambda }$ 是伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的特征值。证毕。