1989 年考研数学（一） 第 17 题

含参方程组的标准流程：把增广矩阵消元到阶梯形，用相容性条件（末行系数全为零则常数项也须为零）逼出 $\lambda$。这里末行给出 $1-\lambda$，故 $\lambda =1$ 才相容；此时秩小于未知数个数，有无穷多解，取自由变量写出通解。

本题考查非齐次线性方程组的相容性与通解。 对增广矩阵作初等行变换。

$$\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& \lambda \\ 4& 1& 2& \lambda +2\\ 6& 1& 4& 2\lambda +3\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-4r_1\\ r_3-6r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& \lambda \\ 0& 1& -2& 2-3\lambda \\ 0& 1& -2& 3-4\lambda \end{array}\right)\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& \lambda \\ 0& 1& -2& 2-3\lambda \\ 0& 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right).$$

当且仅当 $1-\lambda =0$，即 $\lambda =1$ 时，$r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=2<3$，方程组有解（有无穷多解）。

$\lambda =1$ 时，$\overline{\mathbf{A}}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& -2& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，取 $x_3$ 为自由未知量，得 $x_1=1-x_3,x_2=-1+2x_3$。通解为
$$\mathbf{X}=k\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)(k\text{为任意常数}).$$