1989 年考研数学（一） 第 16 题

「证恰有两根」= 单调性（定根的个数）+ 零点定理（定根的存在）。先把碍事的定积分算成常数，注意根号里配成 $\sqrt{2}|\sin x|$。构造 $g(x)$ 后 $g^{\prime }$ 只有一个驻点、$g^{\prime \prime }<0$ 说明它是唯一最大值点；最大值为正、两端趋于负无穷，于是峰的左右各恰好穿越零点一次，正好两根。

本题先算出定积分（常数），再用单调性与零点定理讨论根的个数。

计算定积分：$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$，在 $[0,\pi ]$ 上 $\sin x\ge 0$，故
$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}dx={\int }_0^{\pi }\sqrt{2}|\sin x|dx=\sqrt{2}{\int }_0^{\pi }\sin xdx=2\sqrt{2}.$$
于是原方程即 $\ln x=\frac{x}{e}-2\sqrt{2}$。

令 $g(x)=\ln x-\frac{x}{e}+2\sqrt{2}(x>0)$。$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}=0\Rightarrow x=e$；$g^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，故 $x=e$ 是唯一驻点且为最大值点，最大值
$$M=g(e)=\ln e-\frac{e}{e}+2\sqrt{2}=1-1+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0.$$

又 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)=-\infty$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$。$g$ 在 $(0,e)$ 上严格递增、在 $(e,+\infty )$ 上严格递减，且最大值 $M>0$、两端趋于 $-\infty$，由连续函数的零点定理，$g$ 在 $(0,e)$ 与 $(e,+\infty )$ 内各恰有一个零点，即原方程在 $(0,+\infty )$ 内有且仅有两个不同的实根。证毕。