1989 年考研数学（一） 第 15 题

含变限卷积的积分方程，通法是「求导消积分」。先拆 $(x-t)$ 便于把 $x$ 移出积分，求两次导得到 $f^{\prime \prime }+f=-\sin x$；初值从原方程在 $x=0$ 处及一阶导表达式读出。右端 $-\sin x$ 与齐次解同频，特解需设 $x(a\cos x+b\sin x)$ 以处理共振。

本题为积分方程，通过求导化为常系数线性微分方程的初值问题。

先把积分拆开：
$$f(x)=\sin x-x{\int }_0^{x}f(t)dt+{\int }_0^{x}tf(t)dt.$$
两边对 $x$ 求导（变限积分求导）：
$$f^{\prime }(x)=\cos x-{\int }_0^{x}f(t)dt-xf(x)+xf(x)=\cos x-{\int }_0^{x}f(t)dt.$$
再求导得
$$f^{\prime \prime }(x)=-\sin x-f(x),\text{即}{f}^{\prime \prime }(x)+f(x)=-\sin x.$$

由原式及一阶导表达式得初值 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$。

齐次方程 $f^{\prime \prime }+f=0$ 通解为 $C_1\cos x+C_2\sin x$；设特解 $f_0(x)=x(a\cos x+b\sin x)$，代入 $f^{\prime \prime }+f=-\sin x$ 得 $-2a\sin x+2b\cos x=-\sin x$，故 $a=\frac{1}{2},b=0$，特解为 $\frac{x}{2}\cos x$。

于是通解 $f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{x}{2}\cos x$。代入初值 $f(0)=0\Rightarrow C_1=0$，$f^{\prime }(0)=1\Rightarrow C_2+\frac{1}{2}=1\Rightarrow C_2=\frac{1}{2}$。
故
$$f(x)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{x}{2}\cos x.$$