1989 年考研数学（一） 第 14 题

反三角函数直接套公式难，标准招式是「先导后积」：$\arctan$ 的导数是有理式 $\frac{1}{1+x^2}$，有现成的几何级数展开。逐项积分后加上 $f(0)=\frac{\pi }{4}$ 补回常数项，再检查端点 $x=\pm 1$ 决定收敛范围。

本题考查间接展开法：先展开导数，再逐项积分。

求导并化简：
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^2}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x{)}^2}=\frac{2}{(1-x{)}^2+(1+x{)}^2}=\frac{2}{2+2x^2}=\frac{1}{1+x^2}.$$

利用 $\frac{1}{1+x^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}(-1<x<1)$，逐项积分：
$$f(x)=f(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt=\frac{\pi }{4}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1},$$
其中 $f(0)=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。

当 $x=-1$ 时 $f(-1)=\arctan 0=0$ 有定义，且级数 $\frac{\pi }{4}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}(-1{)}^{2n+1}$ 收敛（收敛于 $0$）；当 $x=1$ 时 $f$ 无定义。故
$$f(x)=\frac{\pi }{4}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1},-1\le x<1.$$