1989 年考研数学（一） 第 13 题

三重积分先看对称性能省一半功夫：区域对称于 $yOz$ 面而被积项 $x$ 为奇，直接丢弃。剩下的 $z$ 用锥面与球面的几何来定限——两面相交给出投影圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$；先对 $z$ 积分或换球坐标皆可，球坐标里锥面恰是 $\phi =\frac{\pi }{4}$ 这条干净的边界。

本题考查三重积分的计算与对称性。 $\Omega$ 由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 围成。

两曲面交线由 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 得 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$，故 $\Omega$ 在 $xOy$ 面的投影为 $D:x^2+y^2\le \frac{1}{2}$。由于 $\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称而 $x$ 是奇函数，${\iiint }_{\Omega }xdv=0$，于是 ${\iiint }_{\Omega }(x+z)dv={\iiint }_{\Omega }zdv$。

方法一（先一后二）：
$${\iiint }_{\Omega }zdv={\iint }_{D}dxdy{\int }_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}zdz=\frac{1}{2}{\iint }_D[(1-x^2-y^2)-(x^2+y^2)]dxdy={\iint }_D(\frac{1}{2}-x^2-y^2)dxdy.$$
化极坐标：
$$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1/\sqrt{2}}(\frac{1}{2}-r^2)rdr=2\pi \cdot \frac{1}{16}=\frac{\pi }{8}.$$

方法二（球坐标）：令 $x=r\cos \theta \sin \phi ,y=r\sin \theta \sin \phi ,z=r\cos \phi$（$0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le \frac{\pi }{4},0\le r\le 1$），
$${\iiint }_{\Omega }zdv={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /4}d\phi {\int }_0^{1}r\cos \phi \cdot r^2\sin \phi dr=2\pi {\int }_0^{\pi /4}\cos \phi \sin \phi d\phi {\int }_0^1{r}^{3}dr=2\pi \cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{8}.$$

故 ${\iiint }_{\Omega }(x+z)dv=\frac{\pi }{8}$。