1989 年考研数学（一） 第 12 题

「与路径无关」是一石二鸟的信号：一方面用 $Q_x=P_y$ 反解未知函数 $\phi$，另一方面保证可用原函数或任意路径求值。先定 $\phi$、用初值定常数，再凑全微分 $\mathrm{d}\left(\frac{1}{2}{x}^2{y}^2\right)$ 直接代端点，免去沿具体曲线积分。

本题考查平面曲线积分与路径无关的条件。 由 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 先定出 $\phi (x)$。

记 $P=x{y}^2,Q=\phi (x)y$。曲线积分与路径无关，故
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\Rightarrow {\phi }^{\prime }(x)y=2xy\Rightarrow {\phi }^{\prime }(x)=2x.$$
积分得 $\phi (x)=x^2+C$，由 $\phi (0)=0$ 得 $C=0$，故 $\phi (x)=x^2$。

此时 $x{y}^{2}dx+x^{2}ydy=d\left(\frac{1}{2}{x}^2{y}^2\right)$ 为全微分，取任意路径（或直接用原函数）：
$${\int }_{(0,0)}^{(1,1)}x{y}^{2}dx+x^{2}ydy=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2{|}_{(0,0)}^{(1,1)}=\frac{1}{2}.$$