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1989 年考研数学（一）第 11 题

解答题 · 5 分

设

z = f (2 x - y) + g (x, x y)

，其中

f (t)

二阶可导，

g (u, v)

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

.

提示 1

先对

x

求一阶偏导：

f

用链式法则乘内层导数，

g

对两个中间变量分别求偏导再乘各自对

x

的偏导。

提示 2

再把一阶结果对

y

求偏导，注意

g_{1}^{'}, g_{2}^{'}

仍是

(x, x y)

的复合函数，要继续套链式法则；

y g_{2}^{'}

是乘积，用乘积法则。

提示 3

第二个中间变量

v = x y

对

y

的偏导是

x

，这个因子别漏，最后合并同类项。

答案与详解

思路（为什么这么做）

抽象复合函数求高阶偏导，稳妥流程是「先一阶、再逐项对第二个变量求导」。难点在于一阶偏导里的

g_{1}^{'}, g_{2}^{'}

本身还是

(x, x y)

的复合函数，对

y

求导时要再套一次链式法则，且

v = x y

对

y

求导给出因子

x

；

y g_{2}^{'}

是乘积，别忘乘积法则中

y

求导出来的

g_{2}^{'}

项。

解答

本题考查多元复合函数的高阶偏导数。 记

g_{1}^{'}, g_{2}^{'}

为

g

对第一、第二个变量的偏导，

g_{12}^{''}, g_{22}^{''}

为相应二阶偏导。

先求一阶偏导（对

x

）：

\frac{\partial z}{\partial x} = 2 f^{'} (2 x - y) + g_{1}^{'} (x, x y) + y g_{2}^{'} (x, x y) .

再对

y

求偏导，注意第二变量

v = x y

对

y

的偏导为

x

：

\frac{\partial}{\partial y} [2 f^{'}] = - 2 f^{''}, \frac{\partial}{\partial y} [g_{1}^{'}] = x g_{12}^{''}, \frac{\partial}{\partial y} [y g_{2}^{'}] = g_{2}^{'} + x y g_{22}^{''} .

合并得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 2 f^{''} + x g_{12}^{''} + g_{2}^{'} + x y g_{22}^{''} .

考点：多元复合函数求导法则

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