1989 年考研数学（一） 第 10 题

破题就是把 $|\mathbf{A}|=0$ 翻成「列向量组线性相关」这一等价命题。线性相关的准确含义是「至少存在一个向量可由其余线性表示」，而非「任意一个都可以」，更推不出成比例或有零列。于是选那条不多不少的表述，其余用反例排除。

本题考查行列式为零与列向量组线性相关的关系。

由 $|\mathbf{A}|=0$ 知 $r(\mathbf{A})<4$，故 $\mathbf{A}$ 的列向量组线性相关，从而必有某一列向量可由其余列向量线性表示（即为其余列的线性组合），应选 C。

举反例可排除其余选项：取 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，$|\mathbf{A}|=0$，但它任何一列都不全为零、任何两列都不成比例，且第 $4$ 列不是第 $1,2,3$ 列的线性组合，故 (A)(B)(D) 均不成立。