1989 年考研数学（一） 第 9 题

看到纯 $\sin$ 级数就要联想到「奇延拓」，于是 $S$ 是奇函数，能把负点折到正点。狄利克雷收敛定理指出在连续点处级数收敛到 $f$ 本身，而 $x=\frac{1}{2}$ 正是连续点，故 $S\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$，再借奇性添上负号。切勿在延拓的间断点处直接取函数值。

本题考查傅里叶正弦级数的收敛定理。 $b_n$ 是对 $f(x)$ 作奇延拓后的正弦级数系数。

$S(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上作奇延拓所得的正弦级数和函数，故 $S(x)$ 为奇函数，$S\left(-\frac{1}{2}\right)=-S\left(\frac{1}{2}\right)$。

因 $x=\frac{1}{2}$ 是 $f$ 的连续点，由收敛定理 $S\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$。

故 $S\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$，应选 B。