1989 年考研数学（一） 第 8 题

解结构题的核心是「非齐次两特解之差为齐次解」。用 $y_1-y_3$、$y_2-y_3$ 造出两个线性无关的齐次解，配上一个特解 $y_3$ 即得通解。也可用一条判据：通解中所有特解系数之和须为 $1$（保证代入后非齐次项系数为 $1$），据此快速排除选项。

本题考查二阶非齐次线性微分方程解的结构。 两个非齐次特解之差是对应齐次方程的解。

因 $y_1,y_2,y_3$ 均为非齐次方程的特解，故 $y_1-y_3$ 与 $y_2-y_3$ 都是对应齐次方程 $y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 的解，且由 $y_1,y_2,y_3$ 线性无关可知这两个解线性无关。

于是非齐次方程的通解为
$$y=C_1(y_1-y_3)+C_2(y_2-y_3)+y_3=C_1{y}_1+C_2{y}_2+(1-C_1-C_2)y_3,$$
应选 D。