1989 年考研数学（一） 第 7 题

关键信号是「切平面平行于已知平面」，翻译过来就是两法向量共线。把曲面隐式化为 $F=0$ 后梯度即法向量，与已知平面法向量对应分量成比例便可解出切点的横、纵坐标；切点还须落在曲面上，用曲面方程补出竖坐标。

本题考查曲面的切平面与法向量。 两平面平行等价于法向量平行。

设 $P(x_0,y_0,z_0)$，$z_0=4-x_0^2-y_0^2$。将曲面写成 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z-4=0$，则 $P$ 处法向量为 $\mathbf{n}=\{2x_0,2y_0,1\}$。

已知平面 $2x+2y+z-1=0$ 的法向量为 $\{2,2,1\}$。由两法向量平行得
$$\frac{2x_0}{2}=\frac{2y_0}{2}=\frac{1}{1}\Rightarrow x_0=1,y_0=1,$$
从而 $z_0=4-1-1=2$，即 $P(1,1,2)$，应选 C。