1989 年考研数学（一） 第 6 题

渐近线题要兵分两路：水平看无穷远、铅直看有限的可疑点，这里唯一可疑的铅直点是 $x=0$。把 $x\sin \frac{1}{x}$ 在 $x\to \infty$ 时换元成 $\frac{\sin t}{t}$ 便得水平渐近线；而 $x\to 0^{+}$ 时它是有界量乘无穷小、极限有限，故无铅直渐近线。

本题考查曲线的水平与铅直渐近线。 分别考察 $x\to +\infty$ 和 $x\to 0^{+}$ 时的极限。

水平渐近线：$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=1$，故 $y=1$ 是水平渐近线。

铅直渐近线：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$（无穷小乘有界量），极限有限，故 $x=0$ 处无铅直渐近线。

综上，曲线有且仅有水平渐近线，应选 A。