1989 年考研数学（一） 第 5 题

关键第一步是老实算出 $\mathbf{A}-2\mathbf{E}$，不要被 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{E}$ 的组合迷惑。所得矩阵近乎下三角、只有第二行需要消元，用增广矩阵作初等行变换求逆既直观又不易错。

本题考查逆矩阵的求法。 先算出 $\mathbf{A}-2\mathbf{E}$，再用初等行变换求逆。

$$\mathbf{A}-2\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

对 $(\mathbf{A}-2\mathbf{E}\mid \mathbf{E})$ 作初等行变换：
$$\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 2& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right),$$
故 $(\mathbf{A}-2\mathbf{E}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$