1989 年考研数学（一） 第 4 题

散度是一道「先求偏导公式、再代点」的直接计算题。稳妥做法是先得到 $\mathrm{div}\mathbf{u}$ 的一般式再代值，避免过早代入出错；对 $\ln (1+z^2)$ 那一项关于 $z$ 求导时记得链式法则，代入 $z=0$ 后该项恰为零。

本题考查散度的计算。 散度为三个分量分别对 $x,y,z$ 求偏导之和。

$$\mathrm{div}\mathbf{u}=\frac{\partial (x{y}^2)}{\partial x}+\frac{\partial (y{e}^z)}{\partial y}+\frac{\partial [x\ln (1+z^2)]}{\partial z}=y^2+e^z+\frac{2xz}{1+z^2}.$$

代入点 $(1,1,0)$：$\mathrm{div}\mathbf{u}{|}_{(1,1,0)}=1^2+e^0+\frac{2\cdot 1\cdot 0}{1+0}=1+1+0=2.$