1989 年考研数学（一） 第 3 题

第一类曲线积分 ${\int }_{L}gds$ 中，路径上的坐标受曲线方程约束，遇到被积函数能被曲线方程化简时要优先利用。这里 $L$ 在单位圆上，$x^2+y^2\equiv 1$，被积函数直接变常数，积分退化为求弧长，不必真去参数化硬算。

本题考查第一类曲线积分，利用曲线方程化简被积函数。 在 $L$ 上有 $x^2+y^2=1$。

由于 $L$ 上恒有 $x^2+y^2=1$，故
$${\int }_L(x^2+y^2)ds={\int }_{L}1ds=(\text{下半圆弧长})=\pi .$$

也可参数化 $x=\cos t,y=\sin t(\pi \le t\le 2\pi )$，则 $ds=\sqrt{(-\sin t{)}^2+{\cos }^{2}t}dt=dt$，${\int }_{\pi }^{2\pi }({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)dt=\pi$。