1988 年考研数学（一） 第 9 题

别被「微分方程」吓到而去求通解——题目只问 $x_0$ 处的极值性态，而这只需 $f^{\prime }(x_0)$ 与 $f^{\prime \prime }(x_0)$。方程恰好给出 $f^{\prime \prime }$ 与 $f,f^{\prime }$ 的代数关系，代入 $x_0$ 并用 $f(x_0)>0$ 即得 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，再套第二充分条件即可。

把 $x=x_0$ 代入方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+4y=0$，得 $f^{\prime \prime }(x_0)-2f^{\prime }(x_0)+4f(x_0)=0$。

由 $f^{\prime }(x_0)=0$，得 $f^{\prime \prime }(x_0)=-4f(x_0)$。又 $f(x_0)>0$，故 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$。

由极值的第二充分条件：$f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，故 $x=x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，应选 A。