1988 年考研数学（一） 第 10 题

核心是「对称区域 + 奇偶被积函数」的化简。上半球 ${\Omega }_1$ 关于 $x=0,y=0$ 对称，凡对 $x$ 或 $y$ 为奇的被积函数积分自动为 $0$（这使 A、B、D 左边为 $0$、右边一般非 $0$，故不成立）；唯有 $z$ 对 $x,y$ 皆偶，且 ${\Omega }_1$ 正是 ${\Omega }_2$ 经两次反射拼出的 $4$ 份全等体，才有 $4$ 倍关系。

分析：${\Omega }_1$ 是上半球，${\Omega }_2$ 是第一卦限内的八分之一球。${\Omega }_1$ 关于坐标面 $x=0$ 与 $y=0$ 都对称，利用被积函数的奇偶对称性判断。

${\Omega }_1$ 关于 $yOz$ 面（$x\to -x$）对称，而 $x$ 是 $x$ 的奇函数，故 ${\iiint }_{{\Omega }_1}xdv=0$；同理 ${\iiint }_{{\Omega }_1}ydv=0$，${\iiint }_{{\Omega }_1}xyzdv=0$。而 ${\Omega }_2$ 上这三个积分一般不为零，故 A、B、D 均不成立。

对于 $z$：被积函数 $z$ 关于 $x,y$ 都是偶函数，${\Omega }_1$ 恰由 $4$ 个与 ${\Omega }_2$ 关于 $x=0$、$y=0$ 反射而成的全等部分组成，故 ${\iiint }_{{\Omega }_1}zdv=4{\iiint }_{{\Omega }_2}zdv$，应选 C。