2018 年考研数学（三） 第 8 题

「样本均值 $/$ 样本标准差」型 → 用 $N(0,1)$ 与 ${\chi }^2(n-1)$ 独立作商构造 $t(n-1)$。坑：自由度是 $n-1$（用 $\overline{X}$ 的 $S$），而用真均值 $\mu$ 的 $S^{\ast }$ 配 $\overline{X}$ 并不给出标准 $t$。

本题考查单个正态总体的抽样分布及 $t$ 分布的构造。 由正态总体性质：$\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$，故 $\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$；又 $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$，且 $\overline{X}$ 与 $S^2$ 相互独立。

由 $t$ 分布定义 $t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(n-1)/(n-1)}}$：

$\frac{\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\cdot \frac{1}{n-1}}}=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)$。故选 B。（用 $S$（自由度 $n-1$）而非用 $\mu$ 定义的 $S^{\ast }$。）