2015 年考研数学（三） 第 12 题

二阶常系数齐次：特征根 → 通解。“$x_0$ 处取极值 $c$”翻译成 $y(x_0)=c$ 和 $y^{\prime }(x_0)=0$ 两个初值。坑：极值条件给的是 $y^{\prime }=0$ 不是 $y^{\prime \prime }=0$。

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程 + 极值条件定常数。 特征方程 ${\lambda }^2+\lambda -2=0$，即 $(\lambda -1)(\lambda +2)=0$，根 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-2$，通解 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}$。

“在 $x=0$ 取极值 $3$”给出两个条件：$y(0)=3$ 且 $y^{\prime }(0)=0$。由 $y^{\prime }=C_1{e}^x-2C_2{e}^{-2x}$，得 $\{\begin{array}{l}{C}_1+C_2=3\\ C_1-2C_2=0\end{array}$，解得 $C_1=2,C_2=1$。

故 $y=2e^x+e^{-2x}$。（验证 $y^{\prime \prime }(0)=6>0$，确为极小值。）