2014 年考研数学（三） 第 8 题

构造抽样分布 → 分子凑 $N(0,1)$、分母凑 $\sqrt{{\chi }^2/n}$。见到 $|X_3|$（即 $\sqrt{X_3^2}$）配一个卡方 → $t$ 分布；此处自由度 $1$，选 $t(1)$。

本题考查 $t$ 分布的构造。 $X_1-X_2\sim N(0,2{\sigma }^2)$，标准化 $\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\sigma }\sim N(0,1)$；又 $\frac{X_3}{\sigma }\sim N(0,1)$，故 $\frac{X_3^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(1)$，且二者独立。

由 $t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2(1)/1}}$：$S=\frac{(X_1-X_2)/(\sqrt{2}\sigma )}{\sqrt{(X_3^2/{\sigma }^2)/1}}=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}|X_3|}\sim t(1)$（$\sigma$ 约去，$\sqrt{X_3^2}=|X_3|$）。选 C。