2009 年考研数学（三） 第 3 题

看到「含 ${\int }_1^x$ 的不等式比较」→ 把另一侧也化成同区间积分，合并后靠被积函数符号 + 保号性判断。坑：$\sin t-1\le 0$，只有当 $x<1$（积分反向）时整体才为正，故答案是 $(0,1)$ 而非某个 $>1$ 的区间。

本题考查变上限积分与定积分的保号性。 令 $\phi (x)={\int }_1^x\frac{\sin t}{t}dt-\ln x(x>0)$，并把 $\ln x={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$ 也写成积分。

则 $\phi (x)={\int }_1^x\frac{\sin t-1}{t}dt={\int }_x^1\frac{1-\sin t}{t}dt$。由于 $1-\sin t\ge 0$、$t>0$，被积函数非负。

当 $0<x<1$ 时 ${\int }_x^1\frac{1-\sin t}{t}dt>0$，即 $\phi (x)>0$，不等式成立；当 $x\ge 1$ 时 $\phi (x)\le 0$。故成立范围为 $(0,1)$，选 A。