2009 年考研数学（三） 第 2 题

看到「两无穷小等价、求参数」→ 先用等价/泰勒把两边的阶算清，令最低次项系数匹配。坑：$x-\sin ax$ 中一次项 $(1-a)x$ 必须先消掉才能降到 $3$ 阶，这一步直接锁定 $a=1$。

本题考查用泰勒展开比较无穷小的阶，反求参数。 先定 $g$ 的阶：$g(x)=x^2\ln (1-bx)\sim x^2\cdot (-bx)=-b{x}^3$，是 $3$ 阶无穷小，故必须让 $f(x)$ 也是 $3$ 阶。

由麦克劳林展开 $\sin ax=ax-\frac{(ax{)}^3}{6}+o(x^3)$，得 $f(x)=x-\sin ax=(1-a)x+\frac{a^3}{6}{x}^3+o(x^3)$。要 $f$ 是 $3$ 阶，必须消去一次项，即 $1-a=0$，得 $a=1$，此时 $f(x)\sim \frac{1}{6}{x}^3$。

由 $f\sim g$ 得 $\frac{1}{6}{x}^3\sim -b{x}^3$，故 $-b=\frac{1}{6}$，$b=-\frac{1}{6}$。选 A。