2009 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$\frac{\text{多项式}}{\sin \pi x}$ 求可去间断点个数」→ 间断点都在整数处，只有分子同时为零的那几个整数才是可去型。坑：整数无穷多，但可去的只有分子零点对应的有限个。

本题考查间断点的分类（可去间断点的判定）。 间断点为 $\sin \pi x=0$ 之处，即 $x=k(k\in \mathbb{Z})$。把分子分解为 $x-x^3=x(1-x)(1+x)$，只有分子在该整数处也为零，才可能是可去间断点。

逐点求极限：$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{1}{\pi }$（用 $\sin \pi x\sim \pi x$）；$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x(1-x)(1+x)}{\sin [\pi (1-x)]}=\frac{2}{\pi }$；同理 $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\frac{2}{\pi }$。故 $x=0,1,-1$ 处极限存在且有限，是可去间断点。

当 $x=k$ 为其余整数（$k\ne 0,\pm 1$）时，分子不为零，$\underset{x\to k}{\lim }f(x)=\infty$，是无穷间断点。所以可去间断点共 $3$ 个，选 C。