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2004 年考研数学（三）第 6 题

填空题 · 4 分

设总体

X

服从正态分布

N (μ_{1}, σ^{2})

，总体

Y

服从正态分布

N (μ_{2}, σ^{2})

，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n_{1}}

和

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n_{2}}

分别是来自总体

X

和

Y

的简单随机样本，则

E [\frac{\sum _{i = 1}^{n_{1}} ( X _{i} - X ˉ ) ^{2} + \sum _{j = 1}^{n_{2}} ( Y _{j} - Y ˉ ) ^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}] =

______.

提示 1

\frac{\sum ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n_{1} - 1)

，而

χ^{2} (k)

期望为

k

。

提示 2

得

E [\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}] = (n_{1} - 1) σ^{2}

，

Y

同理。

提示 3

代入分式，分子

(n_{1} + n_{2} - 2) σ^{2}

与分母约掉。

答案与详解

答案 $σ^{2}$

思路（为什么这么做）

看到「正态样本

\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}

求期望」→ 用

\frac{\sum ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

、

E [χ^{2} (k)] = k

，立得

E [\sum (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}] = (n - 1) σ^{2}

。坑：自由度是

n - 1

不是

n

。

解答

本题考查正态总体样本方差的抽样分布与期望。 由

\frac{\sum _{i = 1}^{n_{1}} ( X _{i} - X ˉ ) ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n_{1} - 1)

且

χ^{2} (k)

的期望为

k

，得

E [\sum_{i = 1}^{n_{1}} (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2}] = (n_{1} - 1) σ^{2}

。

同理

E [\sum_{j = 1}^{n_{2}} (Y_{j} - \overset{ˉ}{Y})^{2}] = (n_{2} - 1) σ^{2}

。

于是原式

= \frac{( n _{1} - 1 ) σ ^{2} + ( n _{2} - 1 ) σ ^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2} = σ^{2}

。（这正是两总体方差相等时合并方差

S_{w}^{2}

的无偏性。）

考点：正态总体样本均值与方差的分布、三大抽样分布（χ²、t、F）

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