设 A,B 为两个随机事件，且 P(A)=41，P(B∣A)=31，P(A∣B)=21，令 X={1,0,A 发生,A 不发生, Y={1,0,B 发生,B 不发生. 求：（Ⅰ）二维随机变量 (X,Y) 的概率分布；（Ⅱ）X 与 Y 的相关系数 ρXY；（Ⅲ）Z=X2+Y2 的概率分布.
提示 1
先由 P(AB)=P(A)P(B∣A)、P(B)=P(AB)/P(A∣B) 补出 P(AB)=121, P(B)=61。提示 2
四个联合概率用 P(AB),P(ABˉ),P(AˉB),P(AˉBˉ) 逐一算出。提示 3
X,Y 均为 0-1 分布，E(XY)=P(AB)，代协方差与相关系数公式；Z=X2+Y2 因 X,Y∈{0,1} 只取 0,1,2。答案与详解
答案 （Ⅰ）P(0,0)=32, P(0,1)=121, P(1,0)=61, P(1,1)=121；（Ⅱ）ρXY=1515；（Ⅲ）P(Z=0)=32, P(Z=1)=41, P(Z=2)=121
思路（为什么这么做）
两个示性变量 (X,Y) 的联合分布 → 四格概率就是 P(AB),P(ABˉ),P(AˉB),P(AˉBˉ)；E(XY)=P(AB)。坑：先用条件概率公式把缺的 P(AB),P(B) 补齐；X2=X（0-1 变量）使 Z 只取 0,1,2。
解答
本题考查 0-1 型二维分布、相关系数、随机变量函数的分布。 先补概率：
P(AB)=P(A)P(B∣A)=41⋅31=121，
P(B)=P(A∣B)P(AB)=1/21/12=61。
（Ⅰ）
P{X=1,Y=1}=P(AB)=121；
P{X=1,Y=0}=P(ABˉ)=P(A)−P(AB)=61；
P{X=0,Y=1}=P(AˉB)=P(B)−P(AB)=121；
P{X=0,Y=0}=1−P(A)−P(B)+P(AB)=32。
（Ⅱ）
X∼B(1,41), Y∼B(1,61)，故
EX=41, DX=163；
EY=61, DY=365。
E(XY)=P(AB)=121，
Cov(X,Y)=121−41⋅61=241，
ρXY=3/16⋅5/361/24=1515。
（Ⅲ）因
X,Y∈{0,1}，
Z=X2+Y2 取值
0,1,2：
P(Z=0)=P(0,0)=32，
P(Z=1)=P(0,1)+P(1,0)=41，
P(Z=2)=P(1,1)=121。