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2004 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 13 分

设随机变量

X

的分布函数为

F (x; α, β) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - (\frac{α}{x})^{β}, 0, x > α, x \leq α,

其中参数

α > 0, β > 1

. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，（Ⅰ）当

α = 1

时，求未知参数

β

的矩估计量；（Ⅱ）当

α = 1

时，求未知参数

β

的最大似然估计量；（Ⅲ）当

β = 2

时，求未知参数

α

的最大似然估计量.

提示 1

先由分布函数求导得密度：

α = 1

时

f = β x^{- β - 1} (x > 1)

。

提示 2

矩估计：算

E (X) = \frac{β}{β - 1}

，令

= \overset{ˉ}{X}

反解

β

；最大似然：

ln L

对

β

求导置零。

提示 3

（Ⅲ）

β = 2

时

ln L

对

α

求导恒正，似然随

α

增大，取约束边界

\overset{α}{^} = min {X_{i}}

。

答案与详解

答案（Ⅰ） $\hat{β} = \frac{X ˉ}{X ˉ - 1}$ ；（Ⅱ） $\hat{β} = \frac{n}{\sum _{i = 1}^{n} ln X _{i}}$ ；（Ⅲ） $\overset{α}{^} = 1 \leq i \leq n min {X_{i}}$

思路（为什么这么做）

点估计三连 → 矩估计令

E (X) = \overset{ˉ}{X}

；MLE 求

ln L

导数置零。坑：当参数是分布的下端点（

x > α

）时

ln L

对它单调（导数不为零），最大似然取到边界

\overset{α}{^} = min {X_{i}}

，不能靠求导置零。

解答

本题考查矩估计与最大似然估计（连续型，含端点参数）。 密度由分布函数求导：

α = 1

时

f (x; β) = β x^{- β - 1} (x > 1)

，其余为

0

。

（Ⅰ）

E (X) = \int_{1}^{+ \infty} x \cdot β x^{- β - 1} d x = β \int_{1}^{+ \infty} x^{- β} d x = \frac{β}{β - 1}

。令

E (X) = \overset{ˉ}{X}

解得矩估计量

\hat{β} = \frac{X ˉ}{X ˉ - 1}

。

（Ⅱ）似然

L = \prod β x_{i}^{- β - 1} = β^{n} (\prod x_{i})^{- β - 1}

，

ln L = n ln β - (β + 1) \sum ln x_{i}

，令

\frac{d ln L}{d β} = \frac{n}{β} - \sum ln x_{i} = 0

，得

\hat{β} = \frac{n}{\sum _{i = 1}^{n} ln X _{i}}

。

（Ⅲ）

β = 2

时

f (x; α) = 2 α^{2} x^{- 3} (x > α)

，似然

L = 2^{n} α^{2 n} (\prod x_{i})^{- 3}

（要求所有

x_{i} > α

），

ln L = n ln 2 + 2 n ln α - 3 \sum ln x_{i}

。

\frac{d ln L}{d α} = \frac{2 n}{α} > 0

，

L

关于

α

单调增，而约束

α < min x_{i}

，故取

\overset{α}{^} = 1 \leq i \leq n min {X_{i}}

。

考点：最大似然估计、矩估计

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