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2001 年考研数学（三）第 1 题

填空题 · 3 分

设生产函数为

Q = A L^{α} K^{β}

，其中

Q

是产出量，

L

是劳动投入量，

K

是资本投入量，而

A, α, β

均为大于零的参数，则当

Q = 1

时

K

关于

L

的弹性为______。

提示 1

弹性定义

ε_{K ∣ L} = \frac{L}{K} \cdot \frac{d K}{d L}

，别漏乘

L / K

。

提示 2

由

Q = 1

即

A L^{α} K^{β} = 1

把

K

解成

L

的函数。

提示 3

K = c L^{- α / β}

是幂函数，幂函数

L^{m}

的弹性就是指数

m

。

答案与详解

答案 $- \frac{α}{β}$

思路（为什么这么做）

看到「幂函数的弹性」→ 幂函数

y = c x^{m}

的弹性恒为指数

m

，不必展开求导。坑：弹性是相对变化率

\frac{L}{K} \frac{d K}{d L}

，与普通导数差一个

L / K

因子。

解答

本题考查经济学中的弹性概念。 弹性定义为

ε_{K ∣ L} = \frac{d K / d L}{K / L} = \frac{L}{K} \cdot \frac{d K}{d L}

，即相对变化率之比。

当

Q = 1

时，由

A L^{α} K^{β} = 1

解出

K = A^{- \frac{1}{β}} L^{- \frac{α}{β}}

，这是

L

的幂函数。

幂函数

K = c L^{m}

的弹性恰等于指数

m

。这里

m = - \frac{α}{β}

，故

ε_{K ∣ L} = - \frac{α}{β}

。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、导数应用：最值、渐近线、作图

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