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1994 年考研数学（三） 第 20 题
解答题 · 8 分
假设由自动线加工的某种零件的内径 （毫米）服从正态分布 ，内径小于 或大于 的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 （单位：元）与销售零件的内径 有如下关系： 问：平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
提示 1
是离散取值，，各概率用标准正态 表示。提示 2
整理得 ，把它看成 的函数。提示 3
对 求导（，注意里层 ），令 取对数解出 。答案与详解
答案 （毫米）时平均利润最大
思路（为什么这么做）
「取 （或某参数）使平均利润最大」→ 先把 写成参数的函数（各段概率用 表示），再对参数求导取极值。坑： 有负号；令导数为零后用 的指数形式两边取 解出 。
解答
本题考查离散型函数的期望（用正态分布函数表示）+ 对参数求导求最值。 先把 写成 的函数。
由 知 ，故 ，，。
。
对 求导（，链式带 ）：。
令导数为 ：，两边取对数化简得 ，即 。此为极大值点，故 毫米时平均利润最大。
由 知 ，故 ，，。
。
对 求导（，链式带 ）：。
令导数为 ：，两边取对数化简得 ，即 。此为极大值点，故 毫米时平均利润最大。