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1992 年考研数学（三）第 9 题

选择题 · 3 分

设当事件

A

与

B

同时发生时，事件

C

必发生，则（　　）。

A $P (C) ⩽ P (A) + P (B) - 1$
B $P (C) ⩾ P (A) + P (B) - 1$
C $P (C) = P (A B)$
D $P (C) = P (A \cup B)$

提示 1

把「

A, B

同时发生则

C

发生」翻译成事件包含

A B \subset C

，于是

P (A B) ⩽ P (C)

。

提示 2

对

P (A B)

用加法公式与

P (A \cup B) ⩽ 1

得下界

P (A B) ⩾ P (A) + P (B) - 1

。

提示 3

两式串起来：

P (C) ⩾ P (A B) ⩾ P (A) + P (B) - 1

。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

「同时发生则必发生」→ 事件包含

A B \subset C

⟹

P (C) ⩾ P (A B)

；再配

P (A B) ⩾ P (A) + P (B) - 1

。坑：包含只给不等号，不能写成

P (C) = P (A B)

。

解答

本题考查事件包含关系与概率的性质。 「

A, B

同时发生则

C

必发生」即

A B \subset C

，从而

P (A B) ⩽ P (C)

。

由加法公式

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

，且

P (A \cup B) ⩽ 1

，得

P (A) + P (B) - P (A B) ⩽ 1

，即

P (A B) ⩾ P (A) + P (B) - 1

。

结合

P (C) ⩾ P (A B)

，得

P (C) ⩾ P (A) + P (B) - 1

，选 B。（C、D 把包含关系误当等号，不成立。）

考点：概率的定义与性质、样本空间与随机事件

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